08. 알파 안정 분포 — 무거운 꼬리의 보편 법칙

Distribution 3/3. 알파 안정(α-stable, Lévy stable) 분포는 "독립 합을 취해도 모양이 변하지 않는다"는 안정성 공리로 정의되는 4-파라미터 패밀리입니다. 가우시안과 코시를 특수 사례로 포함하며, 분산이 무한한 데이터의 CLT 극한을 담당합니다. 배경: 특성함수, 안정성과 일반화 CLT.

정의: 안정성 공리

확률 변수 $X$가 안정하다는 것: 독립 복제 $X_1, X_2$ 와 임의의 $a, b > 0$ 에 대해 어떤 $c > 0, d \in \mathbb{R}$ 가 존재하여

$$aX_1 + bX_2 \overset{d}{=} cX + d$$

이때 $c$ 는 반드시 $c^{\alpha} = a^{\alpha} + b^{\alpha}$ 를 만족하는 지수 $\alpha \in (0, 2]$ 가 존재합니다. 이 $\alpha$ 가 안정성 지수(stability index) 이며 분포의 성격을 지배합니다.

• $\alpha = 2$: $c^2 = a^2 + b^2$ — 분산의 가법성, 즉 가우시안
• $\alpha \lt 2$: 분산 무한, 무거운 꼬리의 세계

일반화 CLT가 보장하듯, i.i.d. 합의 극한으로 나타날 수 있는 분포는 안정 분포가 전부입니다. 가우시안이 "분산 유한 세계의 보편 극한"이라면, 알파 안정 패밀리는 그 조건을 떼어낸 완전한 보편 극한의 목록입니다.

특성함수로 정의하기

알파 안정 분포는 (세 특수 사례를 제외하면) 밀도의 닫힌형이 없습니다. 대신 특성함수는 항상 닫힌형입니다. $X \sim S_\alpha(\gamma, \beta, \delta)$ 의 표준 파라미터화(1-parameterization):

$$\varphi(t) = \exp\Big( i\delta t - \gamma^{\alpha} \lvert t \rvert^{\alpha} \big[ 1 - i\beta\, \mathrm{sgn}(t) \, w(t) \big] \Big)$$

여기서 $w(t) = \tan\frac{\pi\alpha}{2}$ ($\alpha \ne 1$), $w(t) = -\frac{2}{\pi}\ln\lvert t \rvert$ ($\alpha = 1$).

네 파라미터의 역할:

파라미터	범위	역할
$\alpha$	$(0, 2]$	꼬리 두께 (작을수록 두꺼움)
$\beta$	$[-1, 1]$	왜도 (skewness, +면 오른쪽 꼬리 강조)
$\gamma$	$(0, \infty)$	스케일
$\delta$	$\mathbb{R}$	위치

대칭($\beta = 0$, $\delta = 0$) 사례로 단순화하면 구조가 선명해집니다:

$$\varphi(t) = \exp\big( -\gamma^{\alpha} \lvert t \rvert^{\alpha} \big)$$

$\alpha = 2$ 를 넣으면 $e^{-\gamma^2 t^2}$ (가우시안), $\alpha = 1$ 이면 $e^{-\gamma \lvert t \rvert}$ (코시). 하나의 식이 두 분포를 연속적으로 잇습니다.

닫힌형 밀도를 갖는 세 특수 사례

이름	$(\alpha, \beta)$	밀도
가우시안	$(2, \cdot)$	$\frac{1}{2\gamma\sqrt{\pi}} e^{-x^2/(4\gamma^2)}$ — $\beta$ 는 무의미해짐
코시	$(1, 0)$	$\frac{\gamma}{\pi(\gamma^2 + x^2)}$
레비(Lévy)	$(\tfrac{1}{2}, 1)$	$\sqrt{\frac{\gamma}{2\pi}}\, \frac{e^{-\gamma/(2x)}}{x^{3/2}}$, $x > 0$ — 한쪽으로 완전히 쏠린 분포

레비 분포는 브라운 운동이 특정 수준에 처음 도달하는 시간(first hitting time)의 분포로, "평균 대기 시간이 무한한 대기"의 표준 모델입니다.

성질: $\alpha$ 가 지배하는 세계

꼬리와 모멘트

$\alpha \lt 2$ 이면 꼬리가 다항식(멱법칙) 으로 감소합니다:

$$P(X > x) \sim C_\alpha (1+\beta) \gamma^{\alpha} x^{-\alpha} \qquad (x \to \infty)$$

그 즉각적 결과 (모멘트 사다리):

• $\mathbb{E}[\lvert X \rvert^{p}]$ 는 $p \lt \alpha$ 에서만 유한
• $\alpha \lt 2$: 분산은 항상 무한
• $\alpha \le 1$: 평균조차 없음 (코시가 여기 속함)

"표준편차로 리스크를 잰다"는 관행이 이 패밀리 안에서는 원천적으로 불가능합니다. 스케일의 역할은 $\gamma$ 가 대신하며, 분위수 기반 지표(VaR 등)가 실무 대안이 됩니다.

가법성 (재생산 성질)

같은 $\alpha$ 의 독립 안정 변수의 합은 다시 같은 $\alpha$ 의 안정 변수입니다. 특히 i.i.d. $X_i \sim S_\alpha$ 에 대해:

$$X_1 + \cdots + X_n \overset{d}{=} n^{1/\alpha} X + d_n$$

$\sqrt{n}$ 이 아니라 $n^{1/\alpha}$ 로 자랍니다. $\alpha = 1$ 인 코시라면 합이 $n$ 에 비례 — 표본 평균이 단 하나의 관측과 같은 분포라는 뜻이고, LLN이 무력화되는 바로 그 현상입니다.

자기유사성과 Lévy 과정

안정 분포를 증분으로 갖는 확률 과정(Lévy flight, $\alpha$-stable Lévy process)은 자기유사(self-similar)합니다: $X(ct) \overset{d}{=} c^{1/\alpha} X(t)$. 브라운 운동($\alpha=2$)의 연속 경로와 달리 $\alpha \lt 2$ 에서는 점프가 본질적입니다 — 경로가 갑작스러운 도약으로 구성되며, 이것이 시장 폭락·동물의 먹이 탐색(Lévy flight foraging)·이상 확산(anomalous diffusion) 모델링에 쓰이는 이유입니다.

어디에 쓰이는가

분야	현상	근거
금융	로그 수익률의 무거운 꼬리 (Mandelbrot의 면화 가격 연구)	극단 변동이 가우시안 예측보다 수십 배 잦음
신호처리	임펄스 노이즈(수중 음향, 대기 잡음) 모델	멱법칙 스파이크
네트워크	트래픽 burst, 파일 크기 분포	멱법칙 꼬리의 합성
물리	이상 확산, Lévy flight	자기유사 + 점프
ML	무거운 꼬리 노이즈에 강건한 학습, SGD 노이즈의 heavy-tail 분석	gradient noise가 $\alpha \lt 2$ 를 보인다는 실증 연구들

실무 주의: $\alpha \lt 2$ 모델은 표본 분산·표본 상관 같은 2차 통계량이 수렴하지 않으므로, 추정은 특성함수 기반(예: empirical CF fitting), 분위수 기반(McCulloch), 최대우도(수치적 밀도 계산) 방법을 씁니다.

샘플링 — Chambers–Mallows–Stuck (CMS)

밀도가 없어도 샘플링은 정확하게 됩니다. 대칭 사례($\beta = 0$): $U \sim \mathrm{Uniform}(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, $E \sim \mathrm{Exp}(1)$ 독립일 때

$$X = \frac{\sin(\alpha U)}{(\cos U)^{1/\alpha}} \cdot \Big( \frac{\cos(U - \alpha U)}{E} \Big)^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}$$

는 표준 대칭 $\alpha$-안정 분포를 따릅니다. $\alpha = 2$ 를 넣으면 Box–Muller 변환으로 퇴화합니다 — 가우시안 샘플링이 CMS의 특수 사례라는 것 역시 "가우시안 ⊂ 알파 안정"의 한 단면입니다.

이름 주의: scipy의 "alpha distribution"은 다른 분포다

scipy.stats.alpha 는 밀도 $f(x) \propto x^{-2} \exp\big(-\tfrac{1}{2}(a - 1/x)^2\big)$ 를 갖는 별개의 단변량 분포로, 이 페이지의 α-stable 패밀리와 무관합니다. 알파 안정 분포는 scipy.stats.levy_stable 로 제공됩니다. 문헌·라이브러리를 오갈 때 혼동하기 쉬운 지점입니다.

세 분포 총정리 — 시리즈의 결론

	가우시안	Beta	알파 안정 ($\alpha \lt 2$)
지지집합	$\mathbb{R}$	$[0,1]$	$\mathbb{R}$ (또는 반직선)
정의하는 공리	CLT 극한 / 최대 엔트로피 / 안정성($\alpha{=}2$)	켤레성 / 순서통계량 / 감마 비율	안정성 (합 닫힘)
꼬리	$e^{-x^2/2}$ (초경량)	없음 (유계)	$x^{-\alpha}$ (멱법칙)
모멘트	전 차수	전 차수	$p \lt \alpha$ 만
닫힌형 밀도	있음	있음	특수 사례 3개뿐
기본 도구	MGF/특성함수	베타·감마 함수	특성함수 (유일한 수단)
대표 역할	합의 요동, 노이즈	확률의 분포, 베이즈 상태	극단값 지배 현상

관통하는 문장: 분포는 공리가 만든다. "무엇의 합인가(가우시안·알파 안정)", "무엇을 세는가(Beta)"라는 생성 원리를 알면 밀도 공식은 결과물일 뿐입니다.

이 페이지에서 기억할 것

1. 안정성 공리 $aX_1 + bX_2 \overset{d}{=} cX + d$ 하나가 4-파라미터 패밀리 전체를 결정하며, $\alpha \in (0,2]$ 가 꼬리를 지배한다.
2. 밀도 닫힌형은 없지만 특성함수 $\exp(-\gamma^\alpha \lvert t \rvert^\alpha [\cdots])$ 는 항상 닫힌형이다 — 정의·추정·계산 모두 특성함수 공간에서 이뤄진다.
3. 가우시안($\alpha{=}2$)·코시($\alpha{=}1$)·레비($\alpha{=}\tfrac12$)가 닫힌형 밀도를 갖는 세 특수 사례다.
4. $\alpha \lt 2$ 에서 분산 무한, $\alpha \le 1$ 에서 평균도 없음 — 2차 통계 기반 방법론이 통째로 무너지는 영역이다.
5. 무거운 꼬리 데이터의 합은 $n^{1/\alpha}$ 스케일로 알파 안정 분포에 수렴한다(일반화 CLT) — 가우시안 CLT는 그 특수 사례다.