Calculus 6/6. 디랙 델타는 보통 함수가 아니라 시험 함수에서 한 점의 값을 뽑아내는 선형 작용소 입니다. "무한히 좁고 전체 질량은 1인 스파이크"라는 공학적 직관을 유지하되, 계산은 적분 안에서만 안전하게 다룹니다. 배경: 극한과 미분 , 미분 법칙 , 다변수 미분 .
델타 함수 δ \delta δ φ \varphi φ
⟨ δ , φ ⟩ = φ ( 0 ) \langle \delta, \varphi \rangle = \varphi(0) ⟨ δ , φ ⟩ = φ ( 0 ) 를 돌려주는 선형 functional 입니다. 즉 δ ( 0 ) = ∞ \delta(0)=\infty δ ( 0 ) = ∞ δ ( x ) = 0 \delta(x)=0 δ ( x ) = 0
실무 표기에서는 이 작용을 다음처럼 씁니다:
∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ( x ) d x = f ( 0 ) . \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\delta(x)\,dx = f(0). ∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ( x ) d x = f ( 0 ) . 한 점 a a a
∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ( x − a ) d x = f ( a ) . \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\delta(x-a)\,dx = f(a). ∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ( x − a ) d x = f ( a ) . 이 성질을 sifting property 라고 부릅니다. 체처럼 전체 함수에서 a a a
계단 함수
H ( x ) = { 0 , x < 0 , 1 , x > 0 H(x) = \begin{cases}
0, & x \lt 0, \\
1, & x \gt 0
\end{cases} H ( x ) = { 0 , 1 , x < 0 , x > 0 는 x = 0 x=0 x = 0
d d x H ( x ) = δ ( x ) \frac{d}{dx}H(x) = \delta(x) d x d H ( x ) = δ ( x ) 로 정의할 수 있습니다. 계단 함수가 한순간에 1만큼 뛰기 때문에, 그 변화량 전체가 한 점에 압축된 미분으로 나타납니다.
델타는 보통 함수가 아니지만, 보통 함수들의 극한으로 접근할 수 있습니다. 예를 들어 가우시안 커널
δ ε ( x ) = 1 2 π ε exp ( − x 2 2 ε 2 ) \delta_\varepsilon(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\varepsilon}
\exp\!\left(-\frac{x^2}{2\varepsilon^2}\right) δ ε ( x ) = 2 π ε 1 exp ( − 2 ε 2 x 2 ) 은 모든 ε > 0 \varepsilon > 0 ε > 0 ε → 0 + \varepsilon \to 0^+ ε → 0 +
lim ε → 0 + ∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ε ( x ) d x = f ( 0 ) \lim_{\varepsilon \to 0^+}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\delta_\varepsilon(x)\,dx = f(0) ε → 0 + lim ∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ε ( x ) d x = f ( 0 ) 가 성립한다는 점입니다. 델타의 극한은 함수값의 극한이 아니라 적분 작용의 극한 입니다.
대표적인 델타열은 여러 형태가 있습니다:
δ ( x ) = lim ε → 0 + 1 2 π ε e − x 2 / ( 2 ε 2 ) , δ ( x ) = lim ε → 0 + 1 π ε x 2 + ε 2 . \delta(x) = \lim_{\varepsilon \to 0^+}
\frac{1}{\sqrt{2\pi}\varepsilon}e^{-x^2/(2\varepsilon^2)},
\qquad
\delta(x) = \lim_{\varepsilon \to 0^+}
\frac{1}{\pi}\frac{\varepsilon}{x^2+\varepsilon^2}. δ ( x ) = ε → 0 + lim 2 π ε 1 e − x 2 / ( 2 ε 2 ) , δ ( x ) = ε → 0 + lim π 1 x 2 + ε 2 ε . 첫 번째는 가우시안 근사, 두 번째는 코시 커널 근사입니다. 모양은 다르지만 시험 함수에 작용하는 극한이 같으면 같은 델타를 정의합니다.
델타는 변수 변환에서 Jacobian을 반드시 동반합니다:
δ ( a x ) = 1 ∣ a ∣ δ ( x ) ( a ≠ 0 ) . \delta(ax) = \frac{1}{\lvert a \rvert}\delta(x) \qquad (a \ne 0). δ ( a x ) = ∣ a ∣ 1 δ ( x ) ( a = 0 ) . 이 항등식은 sifting property로 바로 확인됩니다:
∫ f ( x ) δ ( a x ) d x = 1 ∣ a ∣ f ( 0 ) . \int f(x)\delta(ax)\,dx
= \frac{1}{\lvert a \rvert}f(0). ∫ f ( x ) δ ( a x ) d x = ∣ a ∣ 1 f ( 0 ) . 더 일반적으로 g ( x ) g(x) g ( x ) x i x_i x i g ′ ( x i ) ≠ 0 g'(x_i) \ne 0 g ′ ( x i ) = 0
δ ( g ( x ) ) = ∑ i δ ( x − x i ) ∣ g ′ ( x i ) ∣ . \delta(g(x)) = \sum_i \frac{\delta(x-x_i)}{\lvert g'(x_i) \rvert}. δ ( g ( x )) = i ∑ ∣ g ′ ( x i )∣ δ ( x − x i ) . 예를 들어 g ( x ) = x 2 − a 2 g(x)=x^2-a^2 g ( x ) = x 2 − a 2 ± a \pm a ± a
δ ( x 2 − a 2 ) = 1 2 ∣ a ∣ [ δ ( x − a ) + δ ( x + a ) ] . \delta(x^2-a^2)
= \frac{1}{2\lvert a \rvert}\left[\delta(x-a)+\delta(x+a)\right]. δ ( x 2 − a 2 ) = 2 ∣ a ∣ 1 [ δ ( x − a ) + δ ( x + a ) ] . 핵심은 "근이 여러 개면 각 근에서 한 번씩 샘플링하되, 기울기가 클수록 그 근이 차지하는 폭이 작아진다"입니다.
델타의 도함수도 보통 함수가 아니라 작용으로 정의됩니다. 부분적분에서 경계항이 사라진다고 보면
∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ′ ( x − a ) d x = − f ′ ( a ) . \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\delta'(x-a)\,dx = -f'(a). ∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ′ ( x − a ) d x = − f ′ ( a ) . 일반화하면
∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ( n ) ( x − a ) d x = ( − 1 ) n f ( n ) ( a ) . \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,\delta^{(n)}(x-a)\,dx
= (-1)^n f^{(n)}(a). ∫ − ∞ ∞ f ( x ) δ ( n ) ( x − a ) d x = ( − 1 ) n f ( n ) ( a ) . 따라서 델타의 미분은 "한 점의 함수값"이 아니라 "한 점의 도함수값"을 뽑아내는 장치입니다. 신호처리에서 impulse response의 미분, 편미분방정식의 fundamental solution, Green's function 계산이 이 언어 위에 서 있습니다.
델타는 컨볼루션의 항등원입니다:
( f ∗ δ ) ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) δ ( x − t ) d t = f ( x ) . (f * \delta)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(x-t)\,dt = f(x). ( f ∗ δ ) ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) δ ( x − t ) d t = f ( x ) . 이동된 델타와 컨볼루션하면 함수가 이동합니다:
( f ∗ δ a ) ( x ) = f ( x − a ) , δ a ( t ) = δ ( t − a ) . (f * \delta_a)(x) = f(x-a), \qquad \delta_a(t)=\delta(t-a). ( f ∗ δ a ) ( x ) = f ( x − a ) , δ a ( t ) = δ ( t − a ) . 즉 델타는 "아무 필터도 적용하지 않는 필터"이고, 이동 델타는 "순수 지연"입니다. 선형 시불변 시스템에서 impulse response 하나로 시스템 전체를 표현하는 이유가 여기서 나옵니다.
Fourier transform에서 델타는 상수와 쌍을 이룹니다. 정규화 관례에 따라 상수는 달라질 수 있지만, 핵심 구조는 같습니다:
F { δ ( x ) } ( k ) = 1 , F { δ ( x − x 0 ) } ( k ) = e − 2 π i k x 0 . \mathcal{F}\{\delta(x)\}(k) = 1,
\qquad
\mathcal{F}\{\delta(x-x_0)\}(k) = e^{-2\pi i k x_0}. F { δ ( x )} ( k ) = 1 , F { δ ( x − x 0 )} ( k ) = e − 2 π ik x 0 . 공간에서 한 점에 완전히 국소화된 대상은 주파수 영역 전체에 균일하게 퍼집니다. 반대로 상수 함수의 Fourier transform은 원점 델타입니다. 이것이 샘플링 이론, 임펄스 신호, 기본해 계산에서 델타가 계속 등장하는 이유입니다.
R n \mathbb{R}^n R n
∫ R n f ( x ) δ ( x − a ) d x = f ( a ) . \int_{\mathbb{R}^n} f(\mathbf{x})\,\delta(\mathbf{x}-\mathbf{a})\,d\mathbf{x}
= f(\mathbf{a}). ∫ R n f ( x ) δ ( x − a ) d x = f ( a ) . 좌표변환을 하면 Jacobian determinant가 붙습니다. 가역 선형변환 A A A
δ ( A x ) = 1 ∣ det A ∣ δ ( x ) . \delta(A\mathbf{x}) = \frac{1}{\lvert \det A \rvert}\delta(\mathbf{x}). δ ( A x ) = ∣ det A ∣ 1 δ ( x ) . 1차원의 1 / ∣ a ∣ 1/\lvert a \rvert 1/ ∣ a ∣
"델타는 0에서 무한대인 함수" — 그림으로는 유용하지만 정의가 아닙니다. 델타는 시험 함수에 작용하는 functional입니다."적분값이 1이면 델타다" — 아닙니다. 적분값 1인 함수는 많습니다. 폭이 0으로 줄어들며 질량이 한 점에 집중되는 극한 작용이 필요합니다."δ ( g ( x ) ) = δ ( x ) \delta(g(x)) = \delta(x) δ ( g ( x )) = δ ( x ) — 아닙니다. 근 전체와 1 / ∣ g ′ ( x i ) ∣ 1/\lvert g'(x_i)\rvert 1/ ∣ g ′ ( x i )∣ "델타 미분은 그냥 뾰족한 함수의 기울기" — 정확한 의미는 f ↦ − f ′ ( a ) f \mapsto -f'(a) f ↦ − f ′ ( a )
델타는 함수가 아니라 ⟨ δ , f ⟩ = f ( 0 ) \langle \delta, f \rangle = f(0) ⟨ δ , f ⟩ = f ( 0 )
모든 안전한 계산은 적분, pairing, Fourier transform, convolution 같은 작용 안에서 이뤄집니다.
δ ( a x ) = δ ( x ) / ∣ a ∣ \delta(ax)=\delta(x)/\lvert a\rvert δ ( a x ) = δ ( x ) / ∣ a ∣ δ ( g ( x ) ) = ∑ i δ ( x − x i ) / ∣ g ′ ( x i ) ∣ \delta(g(x))=\sum_i \delta(x-x_i)/\lvert g'(x_i)\rvert δ ( g ( x )) = ∑ i δ ( x − x i ) / ∣ g ′ ( x i )∣ ∫ f ( x ) δ ( n ) ( x − a ) d x = ( − 1 ) n f ( n ) ( a ) \int f(x)\delta^{(n)}(x-a)dx=(-1)^n f^{(n)}(a) ∫ f ( x ) δ ( n ) ( x − a ) d x = ( − 1 ) n f ( n ) ( a ) Fourier 영역에서 델타는 상수와 대응하고, 컨볼루션에서는 항등원으로 작동합니다.
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